$
连分数定理：
若 ∣x−p/q∣<1/(2q2)，则
p/q 必为x 的某阶渐近分数。\因此
k/d 一定会出现在 e/N 的连分数展开序列中
任何有理数都可以写成这种嵌套形式：
pq=a0+1a1+1a2+1a3+⋯\frac{p}{q} = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cdots}}}qp​=a0​+a1​+a2​+a3​+⋯1​1​1​$
所以可以用分数来逼近一个数。
之前写过维纳攻击题目

1
2
3
n = 507419170088344932990702256911694788408493968749527614421614568612944144764889717229444020813658893362983714454159980719026366361318789415279417172858536381938870379267670180128174798344744371725609827872339512302232610590888649555446972990419313445687852636305518801236132032618350847705234643521557851434711389664130274468354405273873218264222293858509477860634889001898462547712800153111774564939279190835857445378261920532206352364005840238252284065587291779196975457288580812526597185332036342330147250312262816994625317482869849388424397437470502449815132000588425028055964432298176942124697105509057090546600330760364385753313923003549670107599757996810939165300581847068233156887269181096893089415302163770884312255957584660964506028002922164767453287973102961910781312351686488047510932997937700597992705557881172640175117476017503918294534205898046483981707558521558992058512940087192655700351675718815723840568640509355338482631416345193176708501897458649841539192993142790402734898948352382350766125000186026261167277014748183012844440603384989647664190074853086693408529737767147592432979469020671772152652865219092597717869942730499507426269170189547020660681363276871874469322437194397171763927907099922324375991793759
e = 77310199867448677782081572109343472783781135641712597643597122591443011229091533516758925238949755491395489408922437493670252550920826641442189683907973926843505436730014899918587477913032286153545247063493885982941194996251799882984145155733050069564485120660716110828110738784644223519725613280140006783618393995138076030616463398284819550627612102010214315235269945251741407899692274978642663650687157736417831290404871181902463904311095448368498432147292938825418930527188720696497596867575843476810225152659244529481480993843168383016583068747733118703000287423374094051895724494193455175131120243097065270804457787026492578916584536863548445813916819417857064037664101684455000184987531252344582899589746272173970083733130106407810619258077266603898529285634495710846838011858287024329514491058790557305041389614650730267774482954666726949886313386881066593946789460028399523245777171320319444673551268379126203862576627540177888290265714418064334752499940587750374552330008143708562065940245637685833371348603338834447212248648869514585047871442060412622164276894766238383894693759347590977926306581080390685360615407766600573527565016914830132066428454738135380178959590692145577418811677639050929791996313180297924833690095
c = 165251729917394529793163344300848992394021337429474789711805041655116845722480301677817165053253655027459227404782607373107477419083333844871948673626672704233977397989843349633720167495862807995411682262559392496273163155214888276398332204954185252030616473235814999366132031184631541209554169938146205402400412307638567132128690379079483633171535375278689326189057930259534983374296873110199636558962144635514392282351103900375366360933088605794654279480277782805401749872568584335215630740265944133347038070337891035560658434763924576508969938866566235926587685108811154229747423410476421860059769485356567301897413767088823807510568561254627099309752215808220067495561412081320541540679503218232020279947159175547517811501280846596226165148013762293861131544331444165070186672186027410082671602892508739473724143698396105392623164025712124329254933353509384748403154342322725203183050328143736631333990445537119855865348221215277608372952942702104088940952142851523651639574409075484106857403651453121036577767672430612728022444370874223001778580387635197325043524719396707713385963432915855227152371800527536048555551237729690663544828830627192867570345853910196397851763591543484023134551876591248557980182981967782409054277224

思路
e·d ≡ 1 (mod φ(N))，d 很小
e·d=kφ(N)+1->ed-kφ(N)=1
$由ed-kphi(N)=1\
|\frac{e}{N}-\frac{k}{d}|=\frac{1-k(N-\phi(N))}{dN}<\frac{1}{dN^{\frac{1}{2}}}\
\
利用了N-\phi(N)\approx p+q<3\sqrt{N},以及d<\frac{1}{3}N^{\frac{1}{4}}\

\
正好满足了 连分数逼近定理（Legendre 定理）\若 |x - p/q| < 1/(2q^2)
\则p/q必为x 的某阶渐近分数。因此 k/d
一定会出现在
e/N 的连分数展开序列中
令s=N−ϕ(N)+1=p+q，再用求根公式：
p, q = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4N}}{2}
$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33

                       <-----sage----->
from sage.all_cmdline import *
N = _sage_const_507419170088344932990702256911694788408493968749527614421614568612944144764889717229444020813658893362983714454159980719026366361318789415279417172858536381938870379267670180128174798344744371725609827872339512302232610590888649555446972990419313445687852636305518801236132032618350847705234643521557851434711389664130274468354405273873218264222293858509477860634889001898462547712800153111774564939279190835857445378261920532206352364005840238252284065587291779196975457288580812526597185332036342330147250312262816994625317482869849388424397437470502449815132000588425028055964432298176942124697105509057090546600330760364385753313923003549670107599757996810939165300581847068233156887269181096893089415302163770884312255957584660964506028002922164767453287973102961910781312351686488047510932997937700597992705557881172640175117476017503918294534205898046483981707558521558992058512940087192655700351675718815723840568640509355338482631416345193176708501897458649841539192993142790402734898948352382350766125000186026261167277014748183012844440603384989647664190074853086693408529737767147592432979469020671772152652865219092597717869942730499507426269170189547020660681363276871874469322437194397171763927907099922324375991793759 
e = _sage_const_77310199867448677782081572109343472783781135641712597643597122591443011229091533516758925238949755491395489408922437493670252550920826641442189683907973926843505436730014899918587477913032286153545247063493885982941194996251799882984145155733050069564485120660716110828110738784644223519725613280140006783618393995138076030616463398284819550627612102010214315235269945251741407899692274978642663650687157736417831290404871181902463904311095448368498432147292938825418930527188720696497596867575843476810225152659244529481480993843168383016583068747733118703000287423374094051895724494193455175131120243097065270804457787026492578916584536863548445813916819417857064037664101684455000184987531252344582899589746272173970083733130106407810619258077266603898529285634495710846838011858287024329514491058790557305041389614650730267774482954666726949886313386881066593946789460028399523245777171320319444673551268379126203862576627540177888290265714418064334752499940587750374552330008143708562065940245637685833371348603338834447212248648869514585047871442060412622164276894766238383894693759347590977926306581080390685360615407766600573527565016914830132066428454738135380178959590692145577418811677639050929791996313180297924833690095 
c = _sage_const_165251729917394529793163344300848992394021337429474789711805041655116845722480301677817165053253655027459227404782607373107477419083333844871948673626672704233977397989843349633720167495862807995411682262559392496273163155214888276398332204954185252030616473235814999366132031184631541209554169938146205402400412307638567132128690379079483633171535375278689326189057930259534983374296873110199636558962144635514392282351103900375366360933088605794654279480277782805401749872568584335215630740265944133347038070337891035560658434763924576508969938866566235926587685108811154229747423410476421860059769485356567301897413767088823807510568561254627099309752215808220067495561412081320541540679503218232020279947159175547517811501280846596226165148013762293861131544331444165070186672186027410082671602892508739473724143698396105392623164025712124329254933353509384748403154342322725203183050328143736631333990445537119855865348221215277608372952942702104088940952142851523651639574409075484106857403651453121036577767672430612728022444370874223001778580387635197325043524719396707713385963432915855227152371800527536048555551237729690663544828830627192867570345853910196397851763591543484023134551876591248557980182981967782409054277224 

cf=continued_fraction(Integer(e)/Integer(N))
for frac in cf.convergents():
    k=frac.numerator()
    d=frac.denominator()
    if k==_sage_const_0 :
        continue
    #e*d-1必须整除k
    if (e*d-_sage_const_1 )%k!=_sage_const_0 :
        continue
    phi=(e*d-_sage_const_1 )//k
    if phi<=_sage_const_0 :
        continue
    b=N-phi+_sage_const_1 
    delta=b**_sage_const_2 -_sage_const_4 *N
    if delta>=_sage_const_0  and Integer(delta).is_square():
        p=(b+Integer(delta).isqrt())//_sage_const_2 
        q=(b-Integer(delta).isqrt())//_sage_const_2 
        if p*q==N:
            print(f"d={d}")
            print(f"p={p},q={q}")
            break

d=pow(e,-_sage_const_1 ,phi)
m=pow(c,d,N)
print(bytes.fromhex(hex(m)[_sage_const_2 :]))

今天刷题刚好刷到了连分数我以为没记录，结果发现之前已经做过了，那就再记录一下。
题目

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
from Crypto.Util.number import *
from secret import flag,x,y
p=getPrime(512)
q=getPrime(512)
n=p*q
e=x
assert 1293023064232431070902426583269468463*pow(x,2)==105279230912868770223946474836383391725923*pow(y,2)+1293023064232431070902426583269468463
m=bytes_to_long(flag)
c=pow(m,e,n)
print(p,q)
print(c)
#9850212100620338486478343799784951721581757936621772924971218807300819701941457605399099898870264241518769370682330612103782092302148525012450902351701339
#10749429992014823019923966246896511618886613763258781706004694804949547801668777655988055847885755337127548775758133804022361510427909703124161450470578543
#66847321508502017574023222490247591875197038421108556106531660421662626233521063441647157067220450229816184622038471812597874582613385516838920632450015292570673816423432903604941781889308906893966588610214614726388822851471695742453496232748358301888465563812947038856742838097152549971517159475947566599664

思路

assert 1293023064232431070902426583269468463 * pow(x,2)==105279230912868770223946474836383391725923 * pow(y,2)+1293023064232431070902426583269468463这是一个pell方程x^2=D*y^2+1，求解pell方程用到的就是连分数逼近sqrt(D)去求解基本解

1
2
3
4
continued_fraction(a)
#参数传递为a
continued_fraction_periodic(p, q, d)
#参数传递为{p+sqrt(d)}/q

emm 没写出来看了一个脚本，连分数目前没做出来，后续再补上连分数的代码
exp

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_DN

p=9850212100620338486478343799784951721581757936621772924971218807300819701941457605399099898870264241518769370682330612103782092302148525012450902351701339
q=10749429992014823019923966246896511618886613763258781706004694804949547801668777655988055847885755337127548775758133804022361510427909703124161450470578543
c=66847321508502017574023222490247591875197038421108556106531660421662626233521063441647157067220450229816184622038471812597874582613385516838920632450015292570673816423432903604941781889308906893966588610214614726388822851471695742453496232748358301888465563812947038856742838097152549971517159475947566599664

# 1293023064232431070902426583269468463*pow(x,2)==105279230912868770223946474836383391725923*pow(y,2)+1293023064232431070902426583269468463

x = diop_DN(105279230912868770223946474836383391725923//1293023064232431070902426583269468463,1)[0][0]

d = pow(x,-1,(p-1)*(q-1))
m = pow(c,int(d),p*q)

print(bytes.fromhex(hex(m)[2:]))